Exercices corrigés : Divisibilité - Mathoutils (2024)

Les diviseurs de 18 sont -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9 et 18

Les diviseurs de 24 sont -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 4, 6, 8, 12 et 24

Les diviseurs de -31 sont -31, -1, 1 et 31

Les diviseurs positifs stricts de 28 sont 1, 2, 4, 7 et 14. Or, \(1+2+4+7+14=28\). 28 est donc un nombre parfait.

Soit \(n\) un entier relatif,
\(n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)\)
La somme de trois entiers consécutifs est donc bien un multiple de 3. Il est aussi possible d’écrire \((n-1)+n+(n+1)=3n\).

Supposons que \(51n-12\) est un multiple de 17. Il existe donc un entier \(k\) tel que \(51n-12=17k\) et donc \(-12=17k-51n=17(k-3n)\). En particulier, 12 est un multiple de 17, ce qui est absurde. \(51n-12\) n’est donc pas un multiple de 17.

Soit \(n\) un entier relatif.

Si \(n\) est un multiple de 24, il existe un entier \(k\) tel que \(n=24k=6 \times (4k) = 4 \times (6k)\). \(n\) est donc un multiple de 6 et un multiple de 4.

La réciproque est fausse : 12 est un multiple de 6 et de 4 mais n’est pas un multiple de 24.

Les diviseurs de 28 sont -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et 28. \(9n-5\) divise 28 s’il est égal à l’un de ces entiers. Il faut donc résoudre chaque équation et ne conserver que les cas où la solution est entière.

• \(9n-5 = -28 \Leftrightarrow 9n = -23 \Leftrightarrow n = -\dfrac{23}{9}\)
• \(9n-5 = -14 \Leftrightarrow 9n = -9 \Leftrightarrow n = -1\)
• \(9n-5 = -7 \Leftrightarrow 9n = -2 \Leftrightarrow n = -\dfrac{2}{9}\)
• \(9n-5 = -4 \Leftrightarrow 9n = 1 \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{9}\)
• \(9n-5 = -2 \Leftrightarrow 9n = 3 \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{3}\)
• \(9n-5 = -1 \Leftrightarrow 9n = 4 \Leftrightarrow n = \dfrac{4}{9}\)
• \(9n-5 = 1 \Leftrightarrow 9n = 6 \Leftrightarrow n = \dfrac{2}{3}\)
• \(9n-5 = 2 \Leftrightarrow 9n = 7 \Leftrightarrow n = \dfrac{7}{9}\)
• \(9n-5 = 4 \Leftrightarrow 9n = 9 \Leftrightarrow n = 1\)
• \(9n-5 = 7 \Leftrightarrow 9n = 12 \Leftrightarrow n = \dfrac{4}{3}\)
• \(9n-5 = 14 \Leftrightarrow 9n = 19 \Leftrightarrow n = \dfrac{19}{9}\)
• \(9n-5 = 28 \Leftrightarrow 9n = 33 \Leftrightarrow n = \dfrac{11}{3}\)

Finalement, les seuls entiers \(n\) pour lesquels \(9n-5\) divise 28 sont -1 et 1.

1. Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois réels et \(n\) un entier relatif différent de 2.

   \[an+b+\dfrac{c}{n-2} = \dfrac{(an+b)(n-2)+c}{n-2}=\dfrac{an^2+bn-2an-2b+c}{n-2}=\dfrac{an^2+(b-2a)n+c-2b}{n-2}\]

   On résout alors le système \(\left\{\begin{array}{rcl}a&=&3\\b-2a &=&5 \\c-2b &=&-3\end{array}\right.\) et on trouve \(a=3\), \(b=11\) et \(c=19\).

   Pour tout entier relatif \(n\) différent de 2, \(f(n)=3n+11+\dfrac{19}{n-2}\)

2. \(f(n)\) est entier si et seulement si \(\dfrac{19}{n-2}\) est entier, ce qui équivaut à dire que \(n-2\) divise 19. Les seuls diviseurs de 19 étant -19, -1, 1 et 19, les seules valeurs possibles pour \(n\) sont alors -17, 1, 3 et 21. On a par ailleurs \(f(-17)=-41\), \(f(1)=-5\), \(f(3)=39\) et \(f(21)=75\).

Soit \(n\) un entier naturel. \(9n^3+36n^2-21n+30= 3(3n^3+12n^2-7n+10)\). \(9n^3+36n^2-21n+30\) est donc un multiple de 3.

Soit \(n\) un entier relatif. Supposons que \(2n+3\mid 6n+8\). Puisque \(2n+3 \mid 2n+3\), on a également \(2n+3 \mid 6n+8 – 3(2n+3)\), c’est-à-dire \(2n+3 \mid -1\). Les diviseurs de \(-1\) sont \(-1\) et \(1\). On a donc deux possibilités

• \(2n+3=-1\) et donc \(n=-2\)
• \(2n+3=1\) et donc \(n=-1\)

Vérifions

• Pour \(n=-2\), \(2n+3 = -1\) et donc \(2n+3 \mid 6n+8\)
• Pour \(n=-1\), \(2n+3 = 1\) et donc \(2n+3 \mid 6n+8\)

Les solutions sont donc \(-2\) et \(-1\).

Si \(a\) divise \(3n+5\) et \(7n+2\), alors \(a\) divise aussi \(7(3n+5)-3(7n+2)\), c’est-à-dire que \(a\) divise 29.

Les valeurs possibles de \(a\) sont donc -29, -1, 1 et 29.

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la propositiion \(P(n)\) : « \(8^n-3^n\) est divisible par 5 »

• Initialisation : Pour \(n=0\) : \(8^0-3^0=1-1=0\) qui est bien divisile par 5. \(P(0)\) est vraie.
• Soit \(n\) un entier naturel. Supposons que \(P(n)\) est vraie. On a
  \[8^{n+1}-3^{3n+1} = 8 \times 8^{n} – 3 \times 3^n = (5+3) \times 8^n – 3 \times 8^n = 5 \times 8^n +3 \times(8^n-3^n)\]
  Or, puisque par hypothèse de récurrence, \(8^n-3^n\) est divisible par 5, alors \(8^{n+1}-3^{n+1}\) l’est également. \(P(n+1)\) est vraie.
• \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

\[1+6+6^2+\dots + 6^{n-1} = \dfrac{1-6^n}{1-6}=\dfrac{6^n-1}{5}\]

Or, il s’agit là d’un entier, ce qui signifie que \(6^n-1\) est divisible par 5. Par ailleurs, 20 est aussi divisible par 5, et donc \(6^n-1+20\) l’est aussi. Finalement, \(6^n+19\) est divisible par 5.

1. \(247 = 6 \times 41 + 1\)
2. \(1111 = 11 \times 101 + 0\)
3. \(-3874=50 \times (-78)+26\). Attention, le reste est forcément positif.
4. \(22 = 22745 \times 0 + 22\)

On effectue la division euclidienne de 100 par 7. \(100 = 7 \times 14 + 2\). En 100 jours, il sécoule donc 14 semaines et 2 jours. Dans 100 jours, nous serons un vendredi.

Attention à ce que le reste soit inférieur au diviseur ! Effectuons la division euclidienne de 149 par 7 : \(149 = 21 \times 7 + 2\). Ainsi,
\[15920 = 2253 \times 7 + 21 \times 7 + 2 = 2274 \times 7 +2\]

Le quotient de la division euclidienne de 15920 par 7 vaut 2274 et le reste de cette division est 2.

1. Le reste de la division euclidienne est compris entre 0 et 97. La clé C est donc également comprise entre 0 et 97
2. On considère un individu dont le numéro INSEE commence par 1 85 05 78 006 084
   1. Il s’agit d’un homme né en mai 1985 (37 ans au 19 août 2022, date de rédaction de cette correction) dans les Yvelines
   2. \(1850578006084 = 97 \times 19078123774 + 6\). La clé vaut donc \(97-6\) soit 91.

Le mot MATHEMATIQUES est chiffré en ICFZEICFQKMEY

Le mot correspondant à TGQFWGRE est VICTOIRE

Si l’on prend la fonction \(f:x \mapsto 6x+3\)

• La lettre A a pour rang 0. \(f(0)=3\) et le rang 3 correspond à la lettre D/
• La lettre N a pour rang 13. \(f(13)=81=3 \times 26 +3\). Le lettre N est également chiffrée en D.

Si l’on reçoit un message chiffré contenant la lettre D, il nous est alors impossible de savoir si la lettre de départ est un A ou un N.

On a \(i^2=-1\), \(i^3=-i\) et \(i^4=1\). Effectuons alors la division euclidienne de 2023 par 4. On a alors
\[i^{2023} = i^{4 \times 505 + 3} = (i^4)^{505} \times i^3 = 1^{505} \times (-i)=-i\]

Par ailleurs, \[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}i + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)^2=\dfrac{2}{4}+i-\dfrac{2}{4}=i \]

Ainsi, \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8}\)=\(\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right)=i^4=1\). On effectue alors la division euclidienne de 2023 par 8

Par ailleurs,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8 \times 252 + 7}=1 \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^7\]

Or,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^7=\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)^3\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = i^3 \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -i \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Ainsi,

\[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2023}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

On a \(5n+11=5 \times(n+2)+1\)

Or, puisque \(n\) est un entier naturel, on a forcément \(n+2 > 1\). Le reste de la division euclidienne de \(5n+11\) par \(n+2\) est donc 1.

On a \(10n+14 ) = 2(4n+3) + 2n+8\)

Il s’agit de la division euclidienne de \(10n+14\) par \(4n+3\) si \(4n+3 > 2n+8 > 0\). Puisque \(n\) est un entier naturel, on a forcément \(2n+8 > 0\). Par ailleurs, \(4n+3 > 2n+8 \Leftrightarrow 2n > 5 \Leftrightarrow n > \dfrac{5}{2} \).

Ainsi, dès que \(n\) est supérieur ou égal à 3, le reste de la division euclidienne de \(10n+14\) par \(4n+3\) est \(2n+8\). Il reste à étudier les cas où \(n\) vaut 0, 1 ou 2.

• Si \(n=0\), alors \(10n+14=14\) et \(4n+3=3\). Or, \(14 = 3 \times 4 + 2\). Le reste dans ce cas est 2
• Si \(n=1\), alors \(10n+14=24\) et \(4n+3=7\). Or, \(24 = 3 \times 7 + 3\). Le reste dans ce cas est 3
• Si \(n=2\), alors \(10n+14=34\) et \(4n+3=11\). Or, \(34 = 3 \times 11 + 1\). Le reste dans ce cas est 1

Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(n\) des entiers relatifs,

\[(an+b)(n+1)+c = an^2+an+bn+b+c=an^2+(a+b)n+c\]

On résout alors le système \(\left\{\begin{array}{rcl}a&=&1\\a+b &=&1 \\b+c &=&5\end{array}\right.\) et on trouve \(a=1\), \(b=-1\) et \(c=6\).

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(n^2+5=(n-1)(n+1)+6\).

Si \(n+1 > 6\), c’est-à-dire \(n > 5\) il s’agit de la division euclidienne de \(n^2+5\) par \(n+1\). Le reste étant non nul, \(n^2+5\) n’est pas un multiple de \(n+1\) dans ces cas. Reste alors a étudier les cas restants.

• Pour \(n=0\), \(n^2+5=5\) et \(n+1=1\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
• Pour \(n=1\), \(n^2+5=6\) et \(n+1=2\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
• Pour \(n=2\), \(n^2+5=9\) et \(n+1=3\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).
• Pour \(n=3\), \(n^2+5=14\) et \(n+1=4\). \(n^2+5\) n’est donc pas un multiple de \(n+1\).
• Pour \(n=4\), \(n^2+5=21\) et \(n+1=5\). \(n^2+5\) n’est donc pas un multiple de \(n+1\).
• Pour \(n=5\), \(n^2+5=20\) et \(n+1=6\). \(n^2+5\) est donc un multiple de \(n+1\).

\(n^2+5\) est un multiple de \(n+1\) lorsque \(n\) vaut 0, 1, 2 ou 5

Soit \(n\) et \(n’\) deux nombres impairs. Il existe deux entiers \(k\) et \(k’\) tels que \(n=2k+1\) et \(n’=2k’+1\). Ainsi,

\[nn’ = (2k+1)(2k’+1)=4kk’+2k+2k’+1=2(2kk’+k+k’)+1\]

En posant \(q = 2kk’+k+k’\), qui est un entier, on obtient donc \(nn’=2q+1\). \(nn’\) est donc impair.

Si \(n\) est pair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k\). Dans ce cas,
\[(n+4)(n^2+7) = (2k+4)((2k)^2+7)=2(k+2)(4k^2+7)\]
Il s’agit bien d’un multiple de 2 (et donc d’un nombre pair)

Si \(n\) est impair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k+1\). Dans ce cas,
\[(n+4)(n^2+7) = (2k+1+4)((2k+1)^2+7)=(2k+5)(4k^2+4k+1+7)=(2k+5)(4k^2+4k+8)=2(2k+5)(2k^2+2k+4)\]
Il s’agit bien d’un multiple de 2 (et donc d’un nombre pair)

Un nombre entier naturel étant soit pair, soit impair, nous avons bien traité tous les cas possibles : pour tout entier naturel \(n\), \((n+4)(n^2+7)\) est pair.

Soit \(n\) un entier naturel.

• Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k\). Alors \(n^3-n = n(n^2-1)=3k(9k^2-1)\). Il s’agit bien d’un multiple de 3
• Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k+1\). Alors, dans ce cas \[n^3-n = n(n^2-1)=(3k+1)((3k+1)^2-1)=(3k+1)(9k^2+6k+1-1)=3(3k+1)(3k^2+2k)\] Il s’agit bien d’un multiple de 3.
• Supposons qu’il existe \(k\) tel que \(n=3k+2\). Alors, dans ce cas \[n^3-n = n(n^2-1)=(3k+2)((3k+2)^2-1)=(3k+2)(9k^2+12k+4-1)=3(3k+1)(3k^2+4k+1)\] Il s’agit bien d’un multiple de 3.

Un entier naturel \(n\) s’écrivant forcément sous une de ces formes, nous avons bien traité tous les cas : pour tout entier naturel \(n\), \(n^3-n\) est un multiple de 3.

Soit \(n\) un entier naturel non multiple de 3.

• Supposons qu’il existe un entier \(k\) tel que \(n=3k+1\). Alors
  \[n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\]
  Le reste de la division euclidienne de \(n^2\) par 3 est donc 1.
• Supposons qu’il existe un entier \(k\) tel que \(n=3k+2\). Alors
  \[n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1\]
  Attention à ne pas laisse un +4 ici : le reste de la division euclidienne d’un nombre par 3 est forcément compris entre 0 et 3. Le reste de la division euclidienne de \(n^2\) par 3 est donc 1.

Ainsi, si \(n\) n’est pas un multiple de 3, il existe un entier \(k\) tel que \(n^2=3k+1\) et donc \(n^2+9n+8=3k+1+9n+8=3(k+3n+3)\). Il s’agit bien d’un multiple de 3.

D’une part, pour tout entier naturel \(n\),
\[9n^3 + 36n^2 − 21n + 30 = 3(3n^3+12n^2-7n+10)\]
Raisonnons maintenant par disjonction de cas pour montrer que \(3n^3+12n^2-7n+10\) est un multiple de 2

• Si \(n\) est pair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k\). Ainsi,
  \[3n^3+12n^2-7n+10 = 3 \times (2k)^3+12 \times (2k)^2-7 \times (2k) +10 = 2(12k^3+24k^2-7k+15)\]
  C’est donc bien un multiple de 2.
• Si \(n\) est impair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n=2k+1\). Ainsi,
  \[3n^3+12n^2-7n+10 = 3 \times (2k+1)^3+12 \times (2k+1)^2-7 \times (2k+1) +10\]
  Or, \((2k+1)^3=8k^3+12k^2+6k+1\) et \((2k+1)^2=4k^2+4k+1\). Ainsi, en développant et réduisant cette expression, on obtient,
  \[3n^3+12n^2-7n+10 = 24k^3+84k^2+52k+18=2(12k^3+42k^2+26k+9)\]
  Il s’agit également d’un multiple de 2.

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(3n^3+12n^2-7n+10\) est un multiple de 2 et \(9n^3 + 36n^2 − 21n + 30\) est donc un multiple de 6.

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère la proposition \(P(n)\) : \(S_n = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

• Pour \(n=0\), on a \(S_n=1^3=1\) et \(\left(\dfrac{1(1+1)}{2}\right)^2=1^2=1\). \(P(1)\) est donc vraie.
• Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie. On a donc \(1^3+2^3+3^3 + \dots + n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\).
  Ajoutons \((n+1)^3\) à chaque membre. On a alors
  \[1^3+2^3+3^3 + \dots + n^3 + (n+1)^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3\]
  Le membre de gauche n’est alors autre que \(S_{n+1}\). On factorise alors le membre de droite par \((n+1)^2\). On a
  \[ S_{n+1}=(n+1)^2 \times \left(\dfrac{n^2}{4}+(n+1)\right) = (n+1)^2 \times \dfrac{n^2+4n+4}{4} = (n+1)^2 \times \dfrac{(n+2)^2}{2^2} = \left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\]
  \(P(n+1)\) est donc vraie.
• Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).

Ainsi, pour tout entier naturel non nul, on a, en factorisant par \(n\),
\[S_n = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = n \times \dfrac{n(n+1)^2}{2^2} = n \times\dfrac{n(n^2+2n+1)}{4}=n \times \dfrac{n^3+2n^2+n}{4}\]
\(S_n\) est donc un multiple de \(n\) si et seulement si \(\dfrac{n^3+2n^2+n}{4}\) est un entier, c’est-à-dire si \(n^3 + 2n^2 + n\) est un multiple de 4.

Reprenons cette expression sous forme factorisée. Pour tout entier naturel \(n\), \(n^3 + 2n^2 + n = n(n+1)^2\). Raisonnons par disjonction de cas.

• Si \(n\) est un multiple de 4, alors \(n(n+1)^2\), qui est un multiple de \(n\), est aussi un multiple de 4.
• S’il existe un entier \(k\) tel que \(n=4k+1\), alors
  \[n(n+1)^2=(4k+1)(4k+2)^2 = (4k+1) \times (2(2k+1))^2 = (4k+1) \times 4 \times (2k+1)^2\]
  C’est donc un multiple de 4.
• S’il existe un entier \(k\) tel que \(n=4k+2\), alors
  \[n(n+1)^2=(4k+2)(4k+3)^2 = 2 \times (2k+1) \times (4k+3)^2\]
  Or, \((2k+1) \times (4k+3)^2\) est un nombre impair. Ainsi, \(n(n+1)^2\) n’est pas un multiple de 4.
• S’il existe un entier \(k\) tel que \(n=4k+3\), alors
  \[n(n+1)^2=(4k+3)(4k+4)^2 = (4k+3) \times (4(k+1))^2 = (4k+3) \times 4^2 \times (k+1)^2\]
  C’est donc un multiple de 4

Finalement, \(S_n\) est un multiple de \(n\) si et seulement si \(n\) n’est pas un entier de la forme \(4k+2\), avec \(k\) un entier naturel.